הבעת זוויות וצלעות באמצעות פרמטר (קיץ 2023 מועד ב, סעיף א)טריגונומטריה 571 · שיעור 28

קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 5 · סעיף א

שיעור 27 – הבעת זוויות וצלעות באמצעות פרמטר (קיץ 2023 מועד ב, סעיף א)

פרק 5 – מה שואלים ב־571: סעיפי א מבגרויות 571

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – הזוויות של המשולש ACE

3סעיף א (2) – AB ו־DC

📄 נוסח השאלה

הטרפז ABCD (AB ∥ DC) חסום במעגל. המשכי השוקיים AD ו־BC נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).

נתון: ∢ACB = 60 מעלות, AC = k. נסמן ∢CDE = x (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית).

א. (1) הביעו באמצעות x את הזוויות של המשולש ACE.

(2) הביעו באמצעות x ו־k את AB ואת DC.

סעיף א (1) – הזוויות של המשולש ACE

טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס AB שוות:

∢EAB = ∢EBA

📐 משפט: טרפז חסום במעגל

∢CDE היא זווית חיצונית של המרובע החסום ABCD (צמודה ל־∢ADC), ולכן היא שווה לזווית שמול ∢ADC:

∢ABC = ∢CDE = x

📐 משפט: זווית חיצונית למרובע חסום

∢EAB = ∢EBA = x

במשולש ABE:

📐 משפט: טרפז חסום במעגל

טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים

📐 משפט: זווית חיצונית למרובע חסום

שווה לזווית הפנימית שמול הזווית הצמודה לה

סעיף א (1) – הזוויות של המשולש ACE · המשך

במשולש ABE:

∢E = 180 − 2x

📐 משפט: סכום זוויות במשולש

הנקודות E , C , B על ישר אחד, ולכן:

∢ACE = 180 − ∢ACB

📐 משפט: זוויות צמודות

נציב ∢ACB = 60 (נתון):

∢ACE = 180 − 60 = 120

📐 משפט: סכום זוויות במשולש

180 מעלות

📐 משפט: זוויות צמודות

סכומן 180 מעלות

סעיף א (1) – הזוויות של המשולש ACE · המשך

∢ACE = 180 − 60 = 120

במשולש ACE:

∢CAE = 180 − ∢ACE − ∢E

📐 משפט: סכום זוויות במשולש

נציב ∢ACE = 120 ו־∢E = 180 − 2x:

∢CAE = 180 − 120 − (180 − 2x)

∢CAE = 2x − 120

📐 משפט: סכום זוויות במשולש

180 מעלות

סעיף א (1) – הזוויות של המשולש ACE · המשך

∢CAE = 2x − 120

✅ פתרון סופי: ∢CAE = 2x − 120 , ∢ACE = 120 , ∢AEC = 180 − 2x

סעיף א (2) – AB ו־DC

AB: במשולש ABC (∢ABC = x, ∢ACB = 60):

ABsin 60 = ACsin x

📐 משפט: משפט הסינוסים

נציב AC = k:

AB = k · sin 60sin x = √3k2 sin x

DC: במשולש ADC: ∢DAC = ∢CAE = 2x − 120 , ו־∢ADC = 180 − x (צמודה ל־∢CDE):

DCsin(2x − 120) = ACsin(180 − x)

📐 משפט: משפט הסינוסים

asin A = bsin B = 2R

📐 משפט: משפט הסינוסים

asin A = bsin B = 2R

סעיף א (2) – AB ו־DC · המשך

DCsin(2x − 120) = ACsin(180 − x)

📐 משפט: משפט הסינוסים

sin(180 − x) = sin x

📐 נוסחה: זהות

נציב AC = k ו־sin(180 − x) = sin x:

DC = k · sin(2x − 120)sin x

✅ פתרון סופי: AB = √3k2 sin x , DC = k sin(2x − 120)sin x

📐 משפט: משפט הסינוסים

asin A = bsin B = 2R

📐 נוסחה: זהות

sin(180 − a) = sin a

📌 סיכום התשובות

סעיף א (1)

2x − 120 , 120 , 180 − 2x

סעיף א (2)

AB = √3k2 sin x
DC = k sin(2x − 120)sin x

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא